1948년 7월 12일 세르비아의 작은 도시 샤바츠 인근의 므르쟈노바츠라는 마을에서 태어났다. 1968년에 세르비아에서 두번째로 큰 도시인 노비사드에서 고등학교를 졸업했으며, 이후 1973년까지 베오그라드 국립예술대학에서 연극학을 전공했다.
20세기 최고의 세르비아 희곡 작가로 평가받는 그의 희곡 작품들은 전 세계 17개 언어로 번역되었다. 주요 희곡으로는 「마라톤 주자는 영예로운 원을 달린다」(1973) 「라도반 3세」(1973) 「술을 먹도록 강요하는 인간의 몸에 있는 그것은 무엇인가」(1976) 「1월의 봄」(1977) 「우주의 용」(1977) 「집회의 중심지」(1982) 「발칸의 스파이」(1983) 「성자 게오르그, 용을 죽이다」(1984) 「밀실공포증 같은 희극」(1987)」 「프로페셔널」(1990)」 「떠들썩한 비극」(1991) 등이 있다.
또한 코바체비치는 다수의 영화 시나리오 작가로도 이름이 널리 알려져 있는데, 이 작품 『옛날 옛적에 한 나라가 있었지』는 1995년 소설로 발표하기 전에 에미르 쿠스트리차 감독의 영화 「언더그라운드」로 제작되어 제48회 칸 영화제에서 황금종려상을 수상했다. 2005년부터 2007년까지 포르투갈 주재 세르비아 대사를 역임했다. 현재 베오그라드에서 살면서 전업 작가로 활동하고 있다.
발칸반도에 있는 방공호를 닮은 지하실은 지구 도처에 존재하며, 아직까지 인간이라고 불리는 두 다리를 가진 생명체들이
그 자신들을 그곳에서 살도록 만들고 있다. 나는 이 책을 5년 동안 썼으며, 거의 50년을 살아오고 있다. 친구들, 친척들, 지인들, 행인들과 길 위를 그리고 들판과 옛 조국의 무너진 도시 위를 걷고 있는 수많은 영혼들을 모사했다.